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Statistics

Roll outcome

With 3x D6 we get a total of 216 (6x6x6 or 6^3) possible outcomes.

Let us now look at unique rolls. To get all possible combinations we can use this formula for combination with repetition:

\begin{align} \frac{(n+k-1)!}{k!*(n-1)!} \end{align}

To learn more read about Binomial coefficient and combinatorics.

With 3x D6 we get n = 6, k = 3 resulting in 56 combinations.

\begin{align} \frac{(6+3-1)!}{3!*(6-1)!} = 56 \end{align}

You can copy(6+3-1)!/(3!*(6-1)!) to WolframAlpha to calculate it or use this link.

These 56 combinations distribute as follows:

Result Amount Percent
⚰️ Das Unvermeidliche ⚀⚁⚃, ⚀⚁⚄, ⚀⚁⚅, ⚁⚂⚀ ⚁⚂⚄, ⚁⚂⚅, ⚂⚃⚀, ⚂⚃⚁⚂⚃⚅, ⚃⚄⚀, ⚃⚄⚁, ⚃⚄⚂, ⚄⚅⚀, ⚄⚅⚁, ⚄⚅⚂, ⚄⚅⚃ 16 29 %
🎁 Wunsch ⚀⚀⚁, ⚀⚀⚂, ⚀⚀⚃, ⚀⚀⚄, ⚀⚀⚅⚁⚁⚀, ⚁⚁⚂, ⚁⚁⚃, ⚁⚁⚄, ⚁⚁⚅⚂⚂⚀, ⚂⚂⚁, ⚂⚂⚃, ⚂⚂⚄, ⚂⚂⚅⚃⚃⚀, ⚃⚃⚁, ⚃⚃⚂, ⚃⚃⚄, ⚃⚃⚅⚄⚄⚀, ⚄⚄⚁, ⚄⚄⚂, ⚄⚄⚃, ⚄⚄⚅⚅⚅⚀, ⚅⚅⚁, ⚅⚅⚂, ⚅⚅⚃, ⚅⚅⚄ 30 54 %
🦄 Einhorn ⚀⚂⚄, ⚀⚂⚅, ⚀⚃⚅, ⚁⚃⚅ 4 7 %
☢️ Dreifaltigkeit ⚀⚀⚀, ⚁⚁⚁, ⚂⚂⚂⚃⚃⚃, ⚄⚄⚄, ⚅⚅⚅ 6 11 %

However, this is not the probability of each combination since the distinct combinations are not evenly distributed over the 216 possible outcomes.

I do not know how to calculate this, so I created a python script and analyzed of all possible outcomes. To view the full list, expand "Full list of possible dice combinations". The outcome is as follows:

Result total distinct
⚰️ Das Unvermeidliche 96 (44,4%) 16 (29%)
🎁 Wunsch 90 (41,7%) 30 (54%)
🦄 Einhorn 24 (11,1%) 4 (7%)
☢️ Dreifaltigkeit 6 (2,8%) 6 (11%)

The result shows that Das Unvermeidliche has less distinct variations than Wunsch but more possible combinations.

All possible roll attempts

This python script calculates all possible dice results of the game Einhorn, counts the combinations and prints the probability of each of the four roll outcomes.

from itertools import product # pip install itertools
from collections import OrderedDict
import math

# Dice settings
diceFaces = 6
diceSmallestNumber = 1
diceHighestNumber = 6
diceAmount = 3

# Counter
Dreifaltigkeit = 0
Wunsch = 0
Unvermeidlich = 0
Einhorn = 0

# Create a list of all possible roll attempts
rolls = list(product(range(diceSmallestNumber,diceHighestNumber+1), repeat=diceAmount))

# Iterate roll attempts and check result
for roll in rolls:
    # Prepare list
    removedDoubleRoll = tuple(OrderedDict.fromkeys(roll).keys())
    sortedRoll = list(removedDoubleRoll)
    sortedRoll.sort() 

    # Count and print result
    if (len(sortedRoll)==2):
        print(roll, " Wunsch")
        Wunsch += 1
    elif (len(sortedRoll)==1):
        print(roll, " Dreifaltigkeit")
        Dreifaltigkeit += 1
    else:
        if ((sortedRoll[1]-sortedRoll[0]==1) or (sortedRoll[2]-sortedRoll[1]==1)):
            print(sortedRoll, " Das Unvermeidliche")
            Unvermeidlich += 1
        else:
            print(sortedRoll, " Einhorn")
            Einhorn += 1

# Print stats
print("\nTotal amount of possible rolls: ", len(rolls))
print("Total amount of distint rolls: ", int((math.factorial(diceFaces+diceAmount-1))/(math.factorial(diceAmount)*(math.factorial(diceFaces-1)))))
print("\nDreifaltigkeit: ", Dreifaltigkeit, "({:.1f}".format(Dreifaltigkeit / len(rolls) * 100), "%)")
print("Wunsch: ", Wunsch, "({:.1f}".format(Wunsch / len(rolls) * 100), "%)")
print("Das Unvermeidliche: ", Unvermeidlich, "({:.1f}".format(Unvermeidlich / len(rolls) * 100), "%)")
print("Einhorn: ", Einhorn, "({:.1f}".format(Einhorn / len(rolls) * 100), "%)")

Full list of possible dice combinations

This is a full list of all possible roll combinations in this game and the result based on the described rules above.

D1 D2 D3 Result
1 1 1 Dreifaltigkeit
1 1 2 Wunsch
1 1 3 Wunsch
1 1 4 Wunsch
1 1 5 Wunsch
1 1 6 Wunsch
1 2 1 Wunsch
1 2 2 Wunsch
1 2 3 Das Unvermeidliche
1 2 4 Das Unvermeidliche
1 2 5 Das Unvermeidliche
1 2 6 Das Unvermeidliche
1 3 1 Wunsch
1 2 3 Das Unvermeidliche
1 3 3 Wunsch
1 3 4 Das Unvermeidliche
1 3 5 Einhorn
1 3 6 Einhorn
1 4 1 Wunsch
1 2 4 Das Unvermeidliche
1 3 4 Das Unvermeidliche
1 4 4 Wunsch
1 4 5 Das Unvermeidliche
1 4 6 Einhorn
1 5 1 Wunsch
1 2 5 Das Unvermeidliche
1 3 5 Einhorn
1 4 5 Das Unvermeidliche
1 5 5 Wunsch
1 5 6 Das Unvermeidliche
1 6 1 Wunsch
1 2 6 Das Unvermeidliche
1 3 6 Einhorn
1 4 6 Einhorn
1 5 6 Das Unvermeidliche
1 6 6 Wunsch
2 1 1 Wunsch
2 1 2 Wunsch
1 2 3 Das Unvermeidliche
1 2 4 Das Unvermeidliche
1 2 5 Das Unvermeidliche
1 2 6 Das Unvermeidliche
2 2 1 Wunsch
2 2 2 Dreifaltigkeit
2 2 3 Wunsch
2 2 4 Wunsch
2 2 5 Wunsch
2 2 6 Wunsch
1 2 3 Das Unvermeidliche
2 3 2 Wunsch
2 3 3 Wunsch
2 3 4 Das Unvermeidliche
2 3 5 Das Unvermeidliche
2 3 6 Das Unvermeidliche
1 2 4 Das Unvermeidliche
2 4 2 Wunsch
2 3 4 Das Unvermeidliche
2 4 4 Wunsch
2 4 5 Das Unvermeidliche
2 4 6 Einhorn
1 2 5 Das Unvermeidliche
2 5 2 Wunsch
2 3 5 Das Unvermeidliche
2 4 5 Das Unvermeidliche
2 5 5 Wunsch
2 5 6 Das Unvermeidliche
1 2 6 Das Unvermeidliche
2 6 2 Wunsch
2 3 6 Das Unvermeidliche
2 4 6 Einhorn
2 5 6 Das Unvermeidliche
2 6 6 Wunsch
3 1 1 Wunsch
1 2 3 Das Unvermeidliche
3 1 3 Wunsch
1 3 4 Das Unvermeidliche
1 3 5 Einhorn
1 3 6 Einhorn
1 2 3 Das Unvermeidliche
3 2 2 Wunsch
3 2 3 Wunsch
2 3 4 Das Unvermeidliche
2 3 5 Das Unvermeidliche
2 3 6 Das Unvermeidliche
3 3 1 Wunsch
3 3 2 Wunsch
3 3 3 Dreifaltigkeit
3 3 4 Wunsch
3 3 5 Wunsch
3 3 6 Wunsch
1 3 4 Das Unvermeidliche
2 3 4 Das Unvermeidliche
3 4 3 Wunsch
3 4 4 Wunsch
3 4 5 Das Unvermeidliche
3 4 6 Das Unvermeidliche
1 3 5 Einhorn
2 3 5 Das Unvermeidliche
3 5 3 Wunsch
3 4 5 Das Unvermeidliche
3 5 5 Wunsch
3 5 6 Das Unvermeidliche
1 3 6 Einhorn
2 3 6 Das Unvermeidliche
3 6 3 Wunsch
3 4 6 Das Unvermeidliche
3 5 6 Das Unvermeidliche
3 6 6 Wunsch
4 1 1 Wunsch
1 2 4 Das Unvermeidliche
1 3 4 Das Unvermeidliche
4 1 4 Wunsch
1 4 5 Das Unvermeidliche
1 4 6 Einhorn
1 2 4 Das Unvermeidliche
4 2 2 Wunsch
2 3 4 Das Unvermeidliche
4 2 4 Wunsch
2 4 5 Das Unvermeidliche
2 4 6 Einhorn
1 3 4 Das Unvermeidliche
2 3 4 Das Unvermeidliche
4 3 3 Wunsch
4 3 4 Wunsch
3 4 5 Das Unvermeidliche
3 4 6 Das Unvermeidliche
4 4 1 Wunsch
4 4 2 Wunsch
4 4 3 Wunsch
4 4 4 Dreifaltigkeit
4 4 5 Wunsch
4 4 6 Wunsch
1 4 5 Das Unvermeidliche
2 4 5 Das Unvermeidliche
3 4 5 Das Unvermeidliche
4 5 4 Wunsch
4 5 5 Wunsch
4 5 6 Das Unvermeidliche
1 4 6 Einhorn
2 4 6 Einhorn
3 4 6 Das Unvermeidliche
4 6 4 Wunsch
4 5 6 Das Unvermeidliche
4 6 6 Wunsch
5 1 1 Wunsch
1 2 5 Das Unvermeidliche
1 3 5 Einhorn
1 4 5 Das Unvermeidliche
5 1 5 Wunsch
1 5 6 Das Unvermeidliche
1 2 5 Das Unvermeidliche
5 2 2 Wunsch
2 3 5 Das Unvermeidliche
2 4 5 Das Unvermeidliche
5 2 5 Wunsch
2 5 6 Das Unvermeidliche
1 3 5 Einhorn
2 3 5 Das Unvermeidliche
5 3 3 Wunsch
3 4 5 Das Unvermeidliche
5 3 5 Wunsch
3 5 6 Das Unvermeidliche
1 4 5 Das Unvermeidliche
2 4 5 Das Unvermeidliche
3 4 5 Das Unvermeidliche
5 4 4 Wunsch
5 4 5 Wunsch
4 5 6 Das Unvermeidliche
5 5 1 Wunsch
5 5 2 Wunsch
5 5 3 Wunsch
5 5 4 Wunsch
5 5 5 Dreifaltigkeit
5 5 6 Wunsch
1 5 6 Das Unvermeidliche
2 5 6 Das Unvermeidliche
3 5 6 Das Unvermeidliche
4 5 6 Das Unvermeidliche
5 6 5 Wunsch
5 6 6 Wunsch
6 1 1 Wunsch
1 2 6 Das Unvermeidliche
1 3 6 Einhorn
1 4 6 Einhorn
1 5 6 Das Unvermeidliche
6 1 6 Wunsch
1 2 6 Das Unvermeidliche
6 2 2 Wunsch
2 3 6 Das Unvermeidliche
2 4 6 Einhorn
2 5 6 Das Unvermeidliche
6 2 6 Wunsch
1 3 6 Einhorn
2 3 6 Das Unvermeidliche
6 3 3 Wunsch
3 4 6 Das Unvermeidliche
3 5 6 Das Unvermeidliche
6 3 6 Wunsch
1 4 6 Einhorn
2 4 6 Einhorn
3 4 6 Das Unvermeidliche
6 4 4 Wunsch
4 5 6 Das Unvermeidliche
6 4 6 Wunsch
1 5 6 Das Unvermeidliche
2 5 6 Das Unvermeidliche
3 5 6 Das Unvermeidliche
4 5 6 Das Unvermeidliche
6 5 5 Wunsch
6 5 6 Wunsch
6 6 1 Wunsch
6 6 2 Wunsch
6 6 3 Wunsch
6 6 4 Wunsch
6 6 5 Wunsch
6 6 6 Dreifaltigkeit
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